关系和函数

简单辨析一些问题：

有序对，有序 n 元组

笛卡尔积（直积）

关系（二元关系）及符号表示，从 A 到 B 的二元关系， A 上的二元关系，E_A，I_A，二元关系是一个有序对吗？

二元关系与有序对构成的集合是否等价？

二元关系的定义域（前域）、值域（后域）、域及其符号表示？

关系的表示：集合，关系图（注意 A 到 B 上的与 A 上的），邻接矩阵

关系的逆

对关系的并，交，补，差，包含等的结果求逆与对关系求逆后再进行运算相同吗？

关系的复合运算本质？集合描述时注意换元？满足交换律吗？结合律呢？

判断复合运算对并运算、交运算的分配情况：
$$ (S\cup P)\circ R\ 与 \ (S\circ R)\cup (P\circ R) $$ $$ R\circ (S\cup P)\ 与\ (R\circ S)\cup (R\circ P) $$ $$ (S\cap P)\circ R\ 与\ (S\circ R)\cap (P\circ R) $$ $$ R\circ (S\cap P)\ 与\ (R\circ S)\cap (R\circ P) $$ 对关系的复合运算求逆的规则是怎样的？

关系 R 的 n 次幂是如何定义的？周期性是怎么回事？

关系矩阵？复合关系的关系矩阵与原来的两个矩阵之间的关系？在这里如何求关系矩阵的乘积？

关系的性质：什么是自反关系，反自反关系，对称关系，反对称关系，传递关系？

关系闭包的概念？r(R)，s(R)，t(R) 分别是？怎么求关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包？

当非空集合上两个关系存在包含关系时，其闭包是否也存在包含关系？

思考以下闭包的并集与并集的闭包的关系？（如果有思考难度，可以考虑举例，特别注意传递闭包）（仍然是非空集合上的） $$ r(R_1)\cup r(R_2)\ 与\ r(R_1\cup R_2) $$ $$ s(R_1)\cup s(R_2)\ 与\ s(R_1\cup R_2) $$ $$ t(R_1)\cup t(R_2)\ 与\ t(R_1\cup R_2) $$ 若 R 是传递的，s(R) 一定是传递的吗？r(R) 呢？

能用关系矩阵的运算来求关系的关系闭包吗？

什么是 Warshall 算法？

什么是等价关系？等价关系中的一对有序对中的两个元素可以被称为“等价”吗？

[x]_R 是什么？等价类是一个集合吗？A/R 是什么？

什么是一个集合的覆盖和划分？覆盖中的元素能是空集吗？什么是划分中的类/块？划分与商集的关系？划分的元素是？

什么是偏序关系？什么是偏序集？符号表示？

什么是可比？什么是不可比？什么是覆盖？哈斯图怎么画？

可比与全序关系、全序集？

极小元、最小元、极大元、最大元？

（集合）上界、下界、上确界、下确界？

良序集与良序关系？为什么说良序集一定是全序集，全序集不一定是良序集？

函数的像、原像？函数是一种集合吗？

B^A 是什么集合？这种符号与其元素个数有什么关系？

单射函数、满射函数、双射函数？恒等函数、特征函数？自然映射？

复合函数的反函数与反函数的复合存在怎样的关系？

什么是等势？什么是有限集合的基数？可数集、可列集、阿列夫零、0 级无穷大？实数集的基数、1 级无穷大、阿列夫？

有最大的基数和最大的集合吗？

补充：注意各种运算的规律与性质，如 $f\circ g$ 是双射时满足“外满内单”。

错题：若 R 和 S 是集合 A 上的任意两个传递关系，则 R ○ S 也是传递的。

我的答案：对 正确答案：错