初探矩阵

一、矩阵定义

1. 数域

对于一个至少含有 0,1 的复数集合的子集 F ，如果其中任意两个数的四则运算所得结果仍在 F 中，那么 F 称为一个数域。显然，有理数域是最小的数域。

2. 矩阵

矩阵是指某一数域中的 m × n 个数排成 m 行 n 列的表。可记为 A = (a_ij)_mn，或 A_mn，或 A_m×n。如果没有特殊说明，我们讨论的是复矩阵。

两矩阵行列分别相等，称为同型矩阵。

当 m = 1 时，矩阵可以看成一个行向量；当 n = 1 时，矩阵可以看成一个列向量。当 m = n 时，称为 n 阶方阵，其主对角线（只有方阵才有）元素之和为方阵的迹，记作 tr(A)。

当 n 阶方阵不在主对角线上的元素都为 0 时，称为 n 阶对角矩阵，书写时只需保留主对角线，可记作 A = diag(a₁₁, a₂₂, …, a_nn)。当 n 阶方阵不在次对角线上的元素都为 0 时，称为 n 阶反对角矩阵。

进一步地，如果对角矩阵主对角线所有数全为 1 ，称为单位矩阵，记作 E_n 或 E 。

当矩阵所有元素为 0 时，称为零矩阵，仍记为 0 。

仿照行列式，可以定义上三角、下三角矩阵。

某个矩阵的负矩阵中每个元素都与原矩阵中的对应元素互为相反数。

二、矩阵运算

1.矩阵的加法

两个同型矩阵相加，所得矩阵上元素等于原来两矩阵对应位置元素之和。只有同型矩阵才能相加。某个矩阵减去另一个矩阵相当于加上它的负矩阵。

2.矩阵的数乘

某个矩阵与数域中某个数相乘，等于用这个数去乘这一矩阵上的每一个元素。这一点与行列式不同。

特别地，称 kE 为数量矩阵。

3.矩阵的乘法

设矩阵 A = (a_ij)_sn，B = (b_kl)_nm，则 AB = (c_ij)_sm，其中 c_ij = a_i1b_1j+a_i2b_2j+a_i3b_3j+…+a_n1b_nj ，即： $$ \sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj} $$ 显然，矩阵乘法不满足交换律，当乘号前矩阵的列数与乘号后矩阵的行数不相等时，无法对这两个矩阵求积。另外，两矩阵之积为零矩阵，则这两个矩阵可能都不为零矩阵。

当 AB = BA 时，称 A 与 B 可交换，易知此时 A 与 B 为同阶方阵。

当 A 为对角矩阵时，通过设出 B 中的代表项可知，若要 A 与 B 可交换，此时 B 一定亦是对角矩阵。

矩阵乘法满足结合律、分配律。（矩阵乘法中混入的与数相乘也满足结合律）

同阶的上三角矩阵的积仍然是上三角矩阵。

4.方阵的方幂与多项式

方阵 A 的 k 次方幂 A^k 表示 k 个 A 相乘。特别地， A⁰ = E_n。显然，在这里满足 A^kA^l = A^k+l，（A^k)^l = A^kl。

称 f(A) = a_mA^m+a_m-1A^m-1+…+a₁A¹+a₀E 为方阵 A 的 m 次多项式。

可以证明，方阵 A 的多项式 f(A) 与 g(A) 满足 f(A)g(A)=g(A)f(A)。

5.矩阵的转置

将 A 行列互换得到的矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 A^T 或 A’。

矩阵转置时，(A+B)^T=A^T+B^T，(kA)^T=kA^T，(AB)^T=B^TA^T，可推广为：(A₁A₂…A_m)^T = A_m^TA_m-1^T…A₁^T。

当某矩阵与其转置矩阵相等时，称其为对称矩阵；当某矩阵与其转置矩阵的负矩阵相等时，称其为反对称矩阵。易知，反对称矩阵主对角线元素均为 0。

6.矩阵的共轭

称 A = (a_ij)_mn 是 A 的共轭矩阵。则有：A + B = A + B；kA = k A；AB = A B；A^T = (A)^T。

三、矩阵的分块

1.定义

将矩阵用水平、垂直线划分成若干小矩阵所得的小矩阵称为矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

如果分块矩阵具有类似对角矩阵的形式，称为准对角矩阵。

分块矩阵进行运算时，要额外注意子块之间的运算是否有意义。

2.转置

未分块的矩阵的转置相当于把分块矩阵转置后再转置所有子块。

四、方阵的行列式

1.定义

方阵 A 上的元素按其位置形成的行列式称为该方阵的行列式，记作 det(A) 或 |A|。有：|kA| = kⁿ|A|，|A| = |A|，

2.乘积

|A||B| = |AB|。

3.矩阵的子式

在 m × n 矩阵中任意取 k 行 k 列，位于这些选定的行列交叉点上的元素按原顺序排成的 k 阶行列式称为原矩阵的一个子式。

五、矩阵初等变换

1.矩阵的初等变换

矩阵的一次初等行变换，是指对矩阵进行以下三种变换之一：a. 交换矩阵中的两行 b. 用数域中一个非零的数 k 去乘矩阵某行的各元素 c. 把矩阵某行各元素的 k 倍加到另一行中，其中 k 在数域内。这三种分别称为第 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 种初等行变换。类似地，可以定义矩阵的初等列变换。矩阵的初等行、列变换合称矩阵的初等变换。符号表示与行列式类似。

如果一个矩阵经过一系列初等变换变成另一个矩阵，那么这两个矩阵等价。

2.阶梯形矩阵

当 A = (a_ij)_mn 满足：a. 若某行元素全为 0 ，则该行以下均全为 0 元素；b. 当前 r 行均存在非零元素时，若设第 i 行左起第一个非零元素为 $a_{ij_{i}}$，则有 j₁ < j₂ < … < j_r 恒成立。

任意一个矩阵可以通过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵。

3.简化阶梯形矩阵

当阶梯形矩阵满足：a. 所有先导元素（每行第一个非零元素）为 1；b. 先导元素所在列除了先导元素外全为 0 ，称其为简化阶梯形矩阵。

4.等价标准形矩阵

等价标准形矩阵的形式： $$ \left( \begin{matrix} 1 &0 &\cdots &0 &0 &\cdots &0\\0 &1 &\cdots &0 &0 &\cdots &0 \\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 &\cdots &1 &0 &\cdots &0 \\ 0 &0 &\cdots &0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots & &\vdots\ &\vdots & &\vdots \\0 &0 &\cdots &0 &0 &\cdots &0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} E_r &0 \\ 0 &0 \end{matrix} \right) $$ 向等价标准形转化时，可能需要用到列变换。

5.初等矩阵

第 Ⅰ 种类型初等矩阵：n 阶单位矩阵第 i 行、第 j 行互换所得，记作 P(i, j)。

第 Ⅱ 种类型初等矩阵：n 阶单位矩阵第 i 行乘非零的 k 所得，记作 P(i(k))。

第 Ⅲ 种类型初等矩阵：n 阶单位阵第 j 行的 k 倍加到第 i 行所得，记作 P(i, j(k))。

由于对任意矩阵作第 Ⅰ 种初等行变换相当于该矩阵左乘对应的第 Ⅰ 种初等矩阵，作第 Ⅰ 种初等列变换相当于该矩阵右乘对应的第 Ⅰ 种初等矩阵；对任意矩阵作第 Ⅱ 种初等行变换相当于该矩阵左乘对应的第 Ⅱ 种初等矩阵，作第 Ⅱ 种初等列变换相当于该矩阵右乘对应的第 Ⅱ 种初等矩阵；对任意矩阵作第 Ⅲ 种初等行变换相当于该矩阵左乘对应的第 Ⅲ 种初等矩阵，矩阵 A = (a_ij)_mn 右乘 n 阶 P(i, j(k)) 相当于 A 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列，则可以将任一矩阵通过左乘或右乘初等矩阵化成等价标准形。

六、矩阵的秩

1.定义

当非零的 m × n 矩阵 A 有非零的 r 阶子式而没有非零的 (r + 1) 阶子式时，该矩阵的秩为 r ，记作 r(A) 。零矩阵的秩规定为 0。

2.满秩

如果 n 阶方阵 A 满足 r(A) = n，则称矩阵 A 为满秩的，或非奇异的，或非退化的。反之，则称 A 为降秩的，或奇异的，或退化的。

可以证明，方阵满秩与方阵的行列式非零等价。

3.求解矩阵的秩

可以证明，初等变换不改变矩阵的秩，两个同型矩阵等价的充要条件为它们有相同的秩。矩阵转置后，秩不变。

阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目。

七、矩阵的逆

1.定义

设 A 为 n 阶方阵，若存在 B 使得 AB = BA = E，则 A 的逆矩阵 A^-1 = B。

2.性质

a. A、B 可逆时，AB 也可逆，且 (AB)^-1 = B^-1A^-1。（逆、转置的顺序要调换，共轭不需要）

b. A 可逆时，A^T 也可逆，且 (A^T)^-1= （A^-1)^T。

c. A 可逆时，A 也可逆，且 A^-1 = (A)^-1。（逆的共轭等于共轭的逆）

d. (kA)^-1 = k^-1A^-1。

e. (A₁A₂…A_S)^-1 = A_S^-1A_S-1^-1…A₁^-1

f. 上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。

但是，(A+B)^-1 不等于 A^-1 + B^-1。

3.充要条件

当且仅当方阵 A 的行列式不为零时，A 可逆。

4.利用伴随矩阵求逆

定义 A_ij 为 方阵的行列式中元素 a_ij 的代数余子式，称矩阵 $$ A^*=\left( \begin{matrix} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1}\\A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &&\vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{matrix} \right) $$ 为 A 的伴随矩阵。（特别注意此矩阵经过了转置）

则有: $$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $$ 但此方法较为繁琐。

5.矩阵初等变换求逆

对于初等矩阵的逆，有：a. P(i, j)^-1 = P(i, j) b. P(i(k))^-1 = P(i(k^-1)) c. P(i, j(k))^-1 = P(i, j(-k))，即初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。

可逆矩阵只通过初等行变换即可变为单位矩阵。因此，可逆矩阵可表示为初等矩阵的积。

求 A 的逆时，可将与其同阶的单位阵加到其右边构成新矩阵，再通过初等行变换将矩阵左半边化成单位矩阵，此时右半边即为要求的逆；或者将与其同阶的单位阵加到其下边构成新矩阵，再通过初等列变换将矩阵上半边化成单位矩阵，此时下半边即为要求的逆。

这里，给出已知 A，B ，求 A^-1B 的较快方法：(A, B) 通过初等行变换化为 (E, A^-1B)。